KPK dan FPB: Materi dan Contoh Soal
Pengertian KPK dan FPB
KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)
KPK dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dari semua bilangan tersebut.
FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)
FPB dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan terbesar yang dapat membagi habis semua bilangan tersebut.
Metode Menentukan KPK dan FPB
1. Metode Faktorisasi Prima
Caranya dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor-faktor prima, kemudian:
- KPK: Kalikan semua faktor prima, dengan pangkat tertinggi
- FPB: Kalikan faktor prima yang sama, dengan pangkat terendah
Contoh: Tentukan KPK dan FPB dari 12 dan 18
Faktorisasi prima:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
KPK = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
FPB = 2 × 3 = 6
2. Metode Tabel
Membagi bilangan dengan bilangan prima sampai hasilnya 1, kemudian:
- KPK: Kalikan semua bilangan pembagi
- FPB: Kalikan bilangan pembagi yang dapat membagi semua bilangan
Contoh Soal KPK dan FPB
Soal Mudah
Soal 1: Tentukan KPK dari 4 dan 6!
Pembahasan:
Kelipatan 4: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Kelipatan 6: 6, 12, 18, 24, 30, ...
Kelipatan persekutuan: 12, 24, ...
Jadi, KPK dari 4 dan 6 adalah 12
Soal 2: Tentukan FPB dari 15 dan 20!
Pembahasan:
Faktor 15: 1, 3, 5, 15
Faktor 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Faktor persekutuan: 1, 5
Jadi, FPB dari 15 dan 20 adalah 5
Soal 3: Tentukan KPK dari 8 dan 12 dengan faktorisasi prima!
Pembahasan:
8 = 2³
12 = 2² × 3
KPK = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24
Jadi, KPK dari 8 dan 12 adalah 24
Soal 4: Tentukan FPB dari 18 dan 24 dengan faktorisasi prima!
Pembahasan:
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3
FPB = 2 × 3 = 6
Jadi, FPB dari 18 dan 24 adalah 6
Soal Menengah
Soal 5: Tentukan KPK dari 12, 15, dan 20!
Pembahasan:
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
20 = 2² × 5
KPK = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60
Jadi, KPK dari 12, 15, dan 20 adalah 60
Soal 6: Tentukan FPB dari 36, 48, dan 60!
Pembahasan:
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3
60 = 2² × 3 × 5
FPB = 2² × 3 = 4 × 3 = 12
Jadi, FPB dari 36, 48, dan 60 adalah 12
Soal 7: Jika KPK dari a dan 10 adalah 30, dan FPB dari a dan 10 adalah 5, tentukan nilai a!
Pembahasan:
Rumus: KPK(a,b) × FPB(a,b) = a × b
30 × 5 = a × 10
150 = 10a
a = 150 ÷ 10 = 15
Jadi, nilai a adalah 15
Soal 8: Tentukan bilangan terkecil yang habis dibagi oleh 6, 8, dan 9!
Pembahasan:
Soal ini sama dengan mencari KPK dari 6, 8, dan 9
6 = 2 × 3
8 = 2³
9 = 3²
KPK = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
Jadi, bilangan terkecil yang habis dibagi 6, 8, dan 9 adalah 72
Soal Cerita
Soal 9: Andi berenang setiap 4 hari sekali, Budi setiap 6 hari sekali, dan Cici setiap 8 hari sekali. Jika mereka berenang bersama pada tanggal 1 Januari, pada tanggal berapa mereka akan berenang bersama lagi?
Pembahasan:
Mencari KPK dari 4, 6, dan 8:
4 = 2²
6 = 2 × 3
8 = 2³
KPK = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24
Jadi, mereka akan berenang bersama setiap 24 hari sekali.
1 Januari + 24 hari = 25 Januari
Jadi, mereka akan berenang bersama lagi pada tanggal 25 Januari.
Soal 10: Ibu memiliki 24 permen coklat dan 36 permen stroberi. Ibu ingin membagikan permen tersebut kepada beberapa anak dengan jumlah yang sama untuk setiap jenis permen. Berapa jumlah anak terbanyak yang dapat menerima permen?
Pembahasan:
Soal ini mencari FPB dari 24 dan 36:
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
FPB = 2² × 3 = 4 × 3 = 12
Jadi, jumlah anak terbanyak yang dapat menerima permen adalah 12 anak.
Soal 11: Lampu A menyala setiap 6 detik, lampu B setiap 8 detik, dan lampu C setiap 10 detik. Jika ketiga lampu menyala bersama pada pukul 08.00.00, pukul berapa mereka akan menyala bersama lagi untuk kelima kalinya?
Pembahasan:
Mencari KPK dari 6, 8, dan 10:
6 = 2 × 3
8 = 2³
10 = 2 × 5
KPK = 2³ × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120 detik
Jadi, ketiga lampu akan menyala bersama setiap 120 detik (2 menit).
Mereka menyala bersama untuk kelima kalinya setelah 5 × 2 menit = 10 menit.
08.00.00 + 10 menit = 08.10.00
Jadi, mereka akan menyala bersama untuk kelima kalinya pada pukul 08.10.00.
Soal 12: Sebuah pabrik memproduksi mainan yang dikemas dalam kotak. Mainan tersebut bisa dikemas 8 per kotak, 12 per kotak, atau 15 per kotak tanpa sisa. Berapa jumlah mainan paling sedikit yang diproduksi pabrik tersebut?
Pembahasan:
Soal ini mencari KPK dari 8, 12, dan 15:
8 = 2³
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
KPK = 2³ × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120
Jadi, jumlah mainan paling sedikit yang diproduksi pabrik tersebut adalah 120 buah.
Soal 13: Sebuah sekolah akan membagi 60 buku tulis, 90 pensil, dan 120 penghapus kepada sebanyak mungkin siswa. Jika setiap siswa menerima ketiga jenis alat tulis dengan jumlah yang sama, berapa banyak buku tulis, pensil, dan penghapus yang diterima setiap siswa?
Pembahasan:
Mencari FPB dari 60, 90, dan 120:
60 = 2² × 3 × 5
90 = 2 × 3² × 5
120 = 2³ × 3 × 5
FPB = 2 × 3 × 5 = 30
Jadi, jumlah siswa terbanyak adalah 30 orang.
Setiap siswa menerima:
- Buku tulis: 60 ÷ 30 = 2 buah
- Pensil: 90 ÷ 30 = 3 buah
- Penghapus: 120 ÷ 30 = 4 buah
Soal 14: Dua buah roda gigi berputar bersama. Roda A memiliki 12 gigi dan roda B memiliki 18 gigi. Setelah berapa putaran masing-masing roda mereka akan kembali ke posisi semula bersama-sama?
Pembahasan:
Mencari KPK dari 12 dan 18:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
KPK = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
Roda A akan kembali ke posisi semula setelah 36 ÷ 12 = 3 putaran
Roda B akan kembali ke posisi semula setelah 36 ÷ 18 = 2 putaran
Jadi, mereka akan kembali ke posisi semula bersama-sama setelah roda A berputar 3 kali dan roda B berputar 2 kali.
Soal Olimpiade
Soal 15: Diketahui FPB dari dua bilangan adalah 12 dan KPK-nya adalah 72. Jika salah satu bilangan adalah 24, tentukan bilangan lainnya!
Pembahasan:
Rumus: KPK(a,b) × FPB(a,b) = a × b
72 × 12 = 24 × b
864 = 24b
b = 864 ÷ 24 = 36
Jadi, bilangan lainnya adalah 36.
Soal 16: Tentukan banyaknya faktor positif dari KPK dari 2⁴ × 3² dan 2³ × 3³ × 5!
Pembahasan:
KPK dari 2⁴ × 3² dan 2³ × 3³ × 5 adalah 2⁴ × 3³ × 5
Untuk mencari banyaknya faktor positif dari 2⁴ × 3³ × 5, gunakan rumus:
Banyak faktor = (4+1) × (3+1) × (1+1) = 5 × 4 × 2 = 40
Jadi, banyaknya faktor positif dari KPK tersebut adalah 40.
Soal 17: Diketahui a dan b adalah bilangan bulat positif dengan FPB(a,b) = 6 dan KPK(a,b) = 60. Jika a < b, tentukan semua pasangan (a,b) yang mungkin!
Pembahasan:
Misalkan a = 6m dan b = 6n, dengan FPB(m,n) = 1
KPK(a,b) = 6 × m × n = 60
m × n = 10
Pasangan (m,n) dengan FPB(m,n) = 1 dan m × n = 10 adalah:
(1,10) dan (2,5)
Maka pasangan (a,b):
- Untuk (m,n) = (1,10): a = 6×1 = 6, b = 6×10 = 60
- Untuk (m,n) = (2,5): a = 6×2 = 12, b = 6×5 = 30
Jadi, pasangan (a,b) yang mungkin adalah (6,60) dan (12,30).